CHECK 01
先问：轴在哪？
同一根均匀细杆，绕中点转是 ML²/12，绕端点转是 ML²/3。物体没变，轴变了，I 就变了。
Moment of inertia · 01
转动惯量， 拆开来看。
同样质量的球壳与实心球，为什么转起来“手感”不同？答案不在质量本身，而在 每一份质量离转轴有多远。把球面切成一圈圈纬度环，把积分拆成看得见的微元， 公式就不再是一行需要背诵的结论。
薄球壳实心球细杆圆盘圆环
01 / Interactive bench
把积分，切成看得见的环。
拖动旋转视角，移动滑杆改变积分位置。发光的橙色谱带就是当前微元 dm；它到轴的距离，决定了自己对总转动惯量的贡献。
拖拽旋转 · 滚轮缩放
02 / Integration profile
面积，就是总转动惯量。
上图的曲线是每个切片的贡献密度，曲线下的面积加起来正好是 1；下图的曲线则显示 从起点积到哪里、已经完成了多少。
Contribution density
贡献密度与累计占比
dI / d(变量)
累计 I / I总
Live read
11.7%
从北极积到 θ = 55°，已经累积总 I 的 11.7%。
dI/dθ = (MR²/2) sin³θ
纬度越靠近赤道，环半径越大、环带也越宽，贡献在 θ = 90° 达到峰值。
把滑杆拖到赤道，看看累计曲线如何迅速抬升。
03 / Derivation
从一条环，到一行公式。
每一步只做三件事：写出微元质量、写出它到轴的距离、把 dm · r⊥² 加起来。下面以当前模型为例，滑杆数值会同步到结果里。
Thin spherical shell
薄球壳 · 绕一条直径
04 / Model atlas
同一个方法，不同的形状。
所有结果都可以写成 k · M · 长度²。系数 k 只由“质量相对转轴怎么分布”决定； 比较 k，就是在比较质量分布的“远近”。
| 模型 | 转轴 | 转动惯量 | 系数 k |
|---|---|---|---|
| 薄球壳THIN SHELL | 一条直径 | 2/3 MR² | 0.667 |
| 实心球SOLID SPHERE | 一条直径 | 2/5 MR² | 0.400 |
| 薄圆环THIN HOOP | 中心垂直轴 | MR² | 1.000 |
| 圆盘DISK | 中心垂直轴 | 1/2 MR² | 0.500 |
| 细杆 · 中点ROD / CENTER | 中点垂直轴 | 1/12 ML² | 0.083* |
| 细杆 · 端点ROD / END | 端点垂直轴 | 1/3 ML² | 0.333* |
* 细杆使用长度 L 而不是半径 R，系数不能与上面四个“同 R”模型直接横向比较。表中系数保留三位小数。
Same M, same R
质量越靠外，k 越大。
把质量全部放到最外圈，就得到上限 k = 1；越多人“靠近轴”，转动惯量越小。
质量靠近轴 · k 小质量在最外缘 · k = 1
k=I / (M·长度²)
球壳的 2/3 恰好是球面上 sin²θ 的面积平均值；实心球的 3/5 则是体积平均。平均值越小，转起来越“轻”。
继续延伸
换轴、换厚度、换形状，仍然用同一套“微元 + 平行轴定理”。
实心圆柱 · 中心轴½ MR²
空心圆柱 · 中心轴½M(R₁²+R₂²)
圆盘 · 直径轴¼ MR²
球壳 · 切线轴5/3 MR²
实心球 · 切线轴7/5 MR²
细杆 · 端点轴⅓ ML²
CHECK 02
再看：质量在哪？
圆环把全部质量放在 R 处，所以是 MR²；圆盘有一半质量在 r < R/√2 以内，所以只有 ½MR²。
CHECK 03
最后：量纲对不对？
I 的单位是 kg·m²，任何结果都必须是“质量 × 长度²”。如果算出 MR³，先检查是不是把面积或体积元写错了。